การประมาณค่าพารามิเตอร์ เมื่อตัวแปรสุ่มมีการแจกแจงแบบปัวส์ซงวางนัยทั่วไป

บทคัดย่อ

ในลักษณะของข้อมูลที่เป็นการนับความถี่ (frequency data) ในช่วงเวลาที่กำหนดหรืออาณาบริเวณหนึ่ง เราทราบกันดีว่าใช้ฟังก์ชันความน่าจะเป็นแบบปัวส์ซง f (x; )  เพื่ออธิบายลักษณะของข้อมูล โดยที่ฟังก์ชันนั้นเมื่อหาคุณสมบัติแล้วได้ว่าค่าเฉลี่ย (mean) กับค่าความแปรปรวน (variance) มีค่าเท่ากันคือ
แต่ในบางลักษณะของข้อมูลที่เราได้มานั้นมีค่าทั้งสองไม่เท่ากัน เราเรียกเกิด dispersion คืออัตราส่วนของค่าเฉลี่ยเทียบกับค่าความแปรปรวน แล้วต่างไปจาก 1 จึงมีผู้คิดหาฟังก์ชันใหม่เพื่อนำมาอธิบายข้อมูลดังกล่าวให้ดีขึ้น ซึ่งเราเรียก ฟังก์ชันใหม่ว่าฟังก์ชันความน่าจะเป็นแบบปัวส์ซงวางนัยทั่วไป f (x; , ) โดยจะมีสองพารามิเตอร์ จากข้อมูลที่นำมาเป็นตัวอย่างแสดงในตารางที่ 1 จะเห็นว่าถ้าข้อมูลนั้นมีค่าเฉลี่ย กับค่าความแปรปรวนใกล้กันเราจะ fit ด้วยฟังก์ชันความน่าจะเป็นแบบปัวส์ซงกับ fit ด้วยความน่าจะเป็นแบบปัวส์ซงวางนัยทั่วไป จะได้ผลใกล้เคียงกัน (ดูจากค่า X² ) แต่เมื่อค่าทั้งสองต่างกันมากขึ้น ฟังก์ชันความน่าจะเป็นแบบปัวส์ซงจะเริ่ม fit ได้ไม่ดีเท่ากับฟังก์ชันความน่าจะเป็นแบบปัวส์ซงวางนัยทั่วไป ดังนั้นหากเราพบข้อมูลว่าเกิด dispersion มาก ๆ เราควรอธิบายข้อมูลนั้นด้วยฟังก์ชันความน่าจะเป็นแบบปัวส์ซงวางนัยทั่วไปจะให้ผลที่ดีกว่า