การมีผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน์ในรูปแบบ 𝑥2+𝑝2 = 𝑦n เมื่อ p เป็นจำนวนเฉพาะ

บทคัดย่อ

จากเราทราบว่า สมการไดโอแฟนไทน์ในรูปแบบ 𝑥² + 𝑦² = z ไม่มีผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็ม ยกเว้นกรณี (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,0,0) เมื่อ 𝑛 เป็นจำนวนเต็มบวกคู่ที่มากกว่า 2 และสมการรูปแบบนี้มีผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็มเป็นอนันต์เมื่อ 𝑛 = 2 ซึ่งรู้จักกันเป็นอย่างดีในชื่อของ “สมการพีทาโกรัส” ในบทความวิจัยนี้เราจะศึกษาการมีผลเฉลยของสมการในรูปแบบเฉพาะ 𝑥²+𝑝² = 𝑦 เมื่อ p เป็นจำนวนเฉพาะ และ n เป็นจำนวนเต็มบวกคี่ที่มากกว่า 1 โดยประยุกต์สมบัติการแยกตัวประกอบได้เพียงอย่างเดียวในระบบจำนวนเต็มเกาส์เซียนและความรู้พื้นฐานในทฤษฎีจำนวน จากการศึกษาค้นคว้า พบว่าเราสามารถให้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการมีผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็มของสมการ 𝑥²+𝑝² = 𝑦ในกรณี 𝑛 = 3